Só acrescentando uma informação que eu acho que ficou faltando: Assim que o cliente responde a mensagem ativa enviada pelo desk, ele cai para o responsável que enviou a mensagem. Teria como mudar isso?

Olá @Giacomo Junior tudo bem ? 

Você pode criar uma regra de atendimento para isso, configurando o disparo ativo para o bloco X esse bloco inserir um extra no contato e esse extra ser utilizado pela regra de atendimento : https://help.blip.ai/hc/pt-br/articles/4474390687511-Como-definir-Regras-de-atendimento-com-uma-ou-m%C3%BAltiplas-condicionais

Consegue me mostrar mais ou menos um exemplo de como pode ser feito isso? Porque quando as mensagens ativas são enviadas pelo router, nessa parte: 

E o cliente nos responde, o atendimento cai certinho para a regra de fila que criamos (pensando em carteiras).

Mas quando essa mesma mensagem é enviada através do Desk, o atendimento se inicia para a pessoa que enviou a mensagem e não leva em consideração à regra de atendimento que nos temos.

@Giacomo Junior ai nesse caso o disparo deve ser feito pelo growth.